算法调试
假设我们已经实现了一个带有正则化项的线性回归分类器，loss function如下：
图1-1，线性回归loss function
当我们在一个新的测试集上测试模型效果时，有时会发现模型效果比较差，并且超出可接受范围。那下一步该怎么办呢，通常我们会有以下一些常用的方法：
- 增加更多的训练数据
- 减少features
- 增加更多features
- 增加多项式项（比如构造新features x_1^2, x_2^2，或者x_1 * x_2等等）
- 增大正则化项lambda
- 减小正则化项lambda
接下来我们会介绍一些诊断的方法，来帮我们找到哪些方法在现有情况下是有用的，哪些是没用的，以及我们接下来采取什么方法能最有效。
评估分类器
首先我们定义一个简单的标准，来评估我们学习出的分类器好坏。
假设我们现在已经得到一个分类器，在训练数据上的拟合效果如下图。
图1-2，overfitting example
我们可以猜想，这个分类器的泛化性不会太好。虽然在训练集上的效果非常好，但是在预测一些从未在训练集出现的新样本时，效果就会比较差。我们把这种现象叫过拟合，后面会再详细介绍。
training set error最小化并不是我们的最终目标，我们的最终目标是最小的test set error. 实际上我们总是能找到一个分类器使我们的training set error降到0.
所以，当我们拿到一份标注数据，会将数据划分成两份，分别为 training set 和 test set, 划分比例通常分别为70%和30%, 最终在training set上训练，在test set上测试的error作为我们分类器好坏的标准。
对于线性回归，training/testing的过程如下：
- 在training set(70%)上学习 theta, 该 theta 使training error J(theta) 最小；
- 在test set(30%)上计算test set error.
对于线性回归，test set error的计算方式可以为
对于逻辑回归，test set error的计算方式可以为
其实就是利用 loss function 作为 test error.
模型选择和训练/验证/测试集
过拟合(Overfitting)
图1-2中是一个overfitting的例子。
在这种情况下，过于拟合训练集，training error通常会明显低于test set error，而这并不是我们想要的结果。
模型选择(Model Selection)
假设我们只有一个feature，通过增加多项式项，构造出如下10个models
我们可以根据前面的方法，在占总数据30%的测试集上进行测试，选出一个效果最好的model，假设我们选到了第5个，test set error 记为J5.
这样会有带来一个问题：J5相对于model的泛化误差，很有可能是一个偏乐观的估计。因为在我们选择的过程中，会倾向于去拟合测试集，评估结果基于测试集进行了优化，而其中的变量，则是这个选择过程新引入的一个变量，多项式的系数 d (在上面的例子中d为1到10的数).
我们该如何评估模型效果？
为了解决上面的问题，我们引入第三个集合：交叉验证集。我们用交叉验证集选择参数，而只在测试集上评估模型效果。
一种典型的划分方法是训练集占60%，交叉验证集和测试集各占20%.
这样我们可以定义3种误差，分别为
training error
cross validation error
test error
所以，我们最终选择模型的方法，就是利用交叉验证集选择最优的参数，但是用测试集估计模型的泛化误差。
bias/variance分析
对于bias和variance的定义，可以看一下下面这段字，是从大CMU的考试题里摘出来的，讲的比较简单易懂。
在线性回归中，下图非常直观
在我们进行模型选择，在验证集上进行参数选择，当多项式系数 d 变化时，training error 和 cross validation error 变化过程如下图。
图中红色的线为 cross validation error, 粉色的线为 training error.
d 增加的过程中，目标函数的 bias 减小， variance 增大，从欠拟合到最后过拟合。当cross validation error J_cv 开始增加时（途中红色线的拐点），开始过拟合。
那么，当我们发现 cross validation error J_cv 很大时，该如何判断目前是处于欠拟合还是过拟合呢？ 还是先来看看下面的图：
当观察到 J_cv 很大时，可能处在途中蓝色圆圈中的两个位置，虽然观察到的现象很相似(J_cv都很大)，但这两个位置的状态是非常不同的，处理方法也完全不同。
当处于图中标出的bias时，此时 high bias low variance，处于欠拟合状态。
当处于图中标出的variance时，此时 low bias high variance，处于过拟合状态。
分别这两种状态的方法和操作建议如下：
- 当 J_train很高，同时 J_cv也很大时，J_train =~ J_cv, 处于欠拟合状态，即此时high bias low variance. 对应上图中 “bias” 那个点，此时应该增大 d;
- 当 J_train很小，同时 J_cv 很大时，J_cv » J_train, 处于过拟合状态，即此时low bias high variance. 对应上图中 “variance” 那个点，此时应该减小 d.
正则化项的影响
正则化项的出现，是为了防止算法在训练过程中过拟合，即防止 high variance。但是过大的正则化，会使训练过程欠拟合，即出现 high bias. 本节我们主要讲如何选择合适的正则化参数 lambda.
正则化项参数 lambda 对模型的影响如下图所示：
从上面这张图可以很清楚的看到三种状态下 lambda 对于最终模型的影响。
对于lambda的选择，还是与上面提到的方法一致，利用验证集筛选，最终在测试集上的结果作为模型的泛化误差估计。
下面这张图，能更加直观的反映出当 lambda 变化时，对 bias/variance 的影响:
图中粉色的线表示验证集上的error J_cv, 蓝色的线表示训练集上的error J_train.
当 lambda 较小时，更容易过拟合，这也是 lambda 存在的使命 —— 防止过拟合。同样的，当我们观察到 J_cv 很大时，需要调节 lambda，使得模型走到 “just right” 的点。面临到问题是向左走还是向右走。
如何区分是在 “variance” 还是 “bias”, 与之前调节多项式系数 d 遇到的问题一样，所以判断方式也是类似的，从上图可以轻易看出，判断方法和操作建议如下：
- 当 J_train 很低，同时 J_cv 很大时, J_cv » J_train，处于过拟合状态，即此时 low bias high variance. 对应上图中 “variance” 那个点，此时应该增大 lambda;
- 当 J_train 很大，同时 J_cv 也很大时, J_cv =~ J_train，处于欠拟合状态，即此时 high bias low variance. 对应上图中 “bias” 那个点，此时应该减小 lambda.
学习曲线(learning curves)
验证集误差和训练误差随着训练数据增加的变化趋势一般如下图：
蓝色的线表示训练集上的误差 J_train, 粉色的线表示验证集上的误差 J_cv，横轴表示训练集合的大小。
刚开始处于 “A” 点，表示当训练数据很小时，很容易时训练集上的误差非常小，此时处于过拟合状态。随着训练数据的增加，训练数据上的误差 J_train 越来越大，而验证集上的误差 J_cv 越来越小，J_train 和 J_cv 越来越接近但始终保持 J_cv > J_train.
下面讨论何时增加训练数据能提升模型效果，何时增加训练数据也不会带来更多提升。
High bias
当模型处于 high bias 的状态时，增加更多的训练数据并不能提升效果。此时我们的目标函数拟合能力太差。典型的例子如下图，比如我们的训练数据分布为二次曲线，但如果用线性函数去拟合，增加数据并不能降低 error.
High variance
当模型处于 high variance 的状态时，增加更多的训练数据能明显提升效果。此时我们的目标函数拟合能力非常好，但是当数据很少时，很容易发生过拟合。这个时候我们补充更多的数据，会带来更多的信息含量，数据量多也更不容易发生过拟合。
回顾
再来回顾一下刚开始的问题。
假设我们已经实现了一个带有正则化项的线性回归分类器，当我们在一个新的测试集上测试时发现效果比较差时，我们通常采用的方法和这些方法真正的作用：
- 增加更多的训练数据 —— 修复 high variance 的问题
- 减少features —— 修复 high variance 的问题
- 增加更多features —— 修复 high bias 的问题
- 增加多项式项 —— 修复 high bias 的问题
- 增大正则化项lambda —— 修复 high variance 的问题
- 减小正则化项lambda —— 修复 high bias 的问题
我们前面介绍的一些方法，可以从我们观察到的现象判断处在什么状态，从而采取合适的方法提升模型的效果。